Leap Year

为什么要设置闰年

四年一闰
百年不闰
四百年又闰

$$ 回归年 = 365 天 5 小时 48 分 46 秒 \approx 365.2422(天) $$

如果不加以调整，那么经过800年，差距为194天，夏天可以过新年：

$$ 0.2422 \times 800 \ \approx 194(天) $$

如何吸收误差

把这些差距转化为以天为单位：

$$ 5 小时 48 分 46 秒 = a = \frac{10463}{43200} = \frac{1}{4 + \frac{1}{7 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3 + \frac{1}{5 + \frac{1}{64}}}}}} \approx 0.242199074(天) $$

由a1可知每4年加一天比较好一些, 故四年一闰。

$$ a_1 = \frac{1}{4} = 0.25(天) $$

由a2可知每49年加7天比较好一些。

$$ a_2 = \frac{1}{4 + \frac{1}{7}}= \frac{7}{49} \approx 0.2413793(天) $$

由a3可知每33年加8天比较好一些，那么99年就是24天，故百年不闰。

$$ a_3 = \frac{1}{4 + \frac{1}{7 + \frac{1}{1}}} = \frac{8}{33} \approx 0.2424242(天) $$

由a的真实值可知，每43200年应该加10463天，但是按照100年加24天的逻辑来算，43200年才加了10368天。

$$ \frac{24}{100} \times 43200 = 10368(天) $$

与真实值间差距为95天。

$$ 10463 - 10368 = 95(天) $$

因为大约40000年少加100天，所以，大约每400年又加1天，故四百年又闰。

按照现在及的计算逻辑，在这43200年中，一共加的天数是：

$$ 10368 + \frac{1}{400} \times 43200 = 10476(天) $$

比实际多加了

$$ 10476 - 10463 = 13(天) $$

解决办法是每3323年减去一个闰年。

$$ \frac{43200}{13} \approx 3323.0769(年) $$